El objeto de este capítulo es presentar algunos de los conceptos fundamentales de la Geometría analítica plana. Estos conceptos son fundamentales en el sentido de que constituyen la base del estudio de la Geometría analítica. En particular, se hará notar cómo se generalizan muchas de las nociones de la geometría elemental por los métodos de la Geometría analítica. Esto se ilustrará con aplicaciones a las propiedades de las líneas rectas y de las figuras rectilíneas.
Segmento Rectilineo
Segmento Rectilineo
La porción de una línea recta comprendida entre dos de sus puntos se llama Segmento rectilíneo o simplemente segmento. Los dos puntos se llaman extremos del segmento.
Así, en la figura 1, para la recta l, AB es un segmento cuyos extremos son A y B. La longitud del segmento AB se representa por AB.
El lector ya esta familiarizado con el concepto geométrico de segmento rectilíneo. Para los fines de la Geómetra analítica añadiremos, al concepto geométrico de segmento, la idea de sentido o dirección. Desde este punto de vista consideramos que el segmento AB es generado por un punto que se mueve a lo largo de la recta l de A hacia B. Decimos entonces que el segmento AB está, dirigido de A a B, e indicamos esto por medio de una flecha como en la figura 1. En este caso, el punto A se llama origen o punto inicial y el punto B extremo o punto final. Podemos también obtener el mismo segmento dirigiéndolo de B a A; entonces B es el origen y A el extremo, y el segmento se designa por BA. El sentido de un segmento dirigido se indica siempre escribiendo primero el origen o punto inicial. Desde el punto de vista de la Geometría elemental, las longitudes de los segmentos dirigidos, AB y BA, son las mismas. En Geometría analítica, sin embargo, se hace una distinción entre los signos de estas longitudes. Así, especificamos, arbitrariamente, que un segmento dirigido en un sentido será considerado de longitud positiva, mientras que otro, dirigido en sentido opuesto, será considerado como un segmento de longitud negativa. De acuerdo con esto, si especificamos que el segmento dirigido AB tiene una longitud positiva, entonces el segmento dirigido BA tiene una longitud negativa, y escribimos.
Consideremos ahora tres puntos distintos A, B y C sobre una línea recta cuya dirección positiva es de izquierda a derecha. Hay: 3! = 6 ordenaciones posibles de estos puntos, como se muestra en la figura 2. Considerando solamente segmentos dirigidos de longitudes positivas, tenemos las seis relaciones siguientes correspondientes a estas ordenaciones:
Demostraremos en seguida que todas estas relaciones están incluidas en la relación fundamental:
AB+ BC= AC.
En efecto, por (1), CB = - BC, de manera que la relación (a) puede escribirse
AC - BC=AB,
De donde, pasando - BC al segundo miembro, obtenemos (2). Análogamente, por ser CA = - AC y CB = - BC por (1), la relación (b) se convierte en
- AC + AB = - BC,
En donde, por transposición, obtenemos también (2). La relación (c) esta ya en la forma (2). Como anteriormente, usando (1), vemos que (d), (e) y (f) se reducen cada una a (2).
Sistema Coordenado Lineal
El lector ya esta familiarizado con el concepto geométrico de segmento rectilíneo. Para los fines de la Geómetra analítica añadiremos, al concepto geométrico de segmento, la idea de sentido o dirección. Desde este punto de vista consideramos que el segmento AB es generado por un punto que se mueve a lo largo de la recta l de A hacia B. Decimos entonces que el segmento AB está, dirigido de A a B, e indicamos esto por medio de una flecha como en la figura 1. En este caso, el punto A se llama origen o punto inicial y el punto B extremo o punto final. Podemos también obtener el mismo segmento dirigiéndolo de B a A; entonces B es el origen y A el extremo, y el segmento se designa por BA. El sentido de un segmento dirigido se indica siempre escribiendo primero el origen o punto inicial. Desde el punto de vista de la Geometría elemental, las longitudes de los segmentos dirigidos, AB y BA, son las mismas. En Geometría analítica, sin embargo, se hace una distinción entre los signos de estas longitudes. Así, especificamos, arbitrariamente, que un segmento dirigido en un sentido será considerado de longitud positiva, mientras que otro, dirigido en sentido opuesto, será considerado como un segmento de longitud negativa. De acuerdo con esto, si especificamos que el segmento dirigido AB tiene una longitud positiva, entonces el segmento dirigido BA tiene una longitud negativa, y escribimos.
Consideremos ahora tres puntos distintos A, B y C sobre una línea recta cuya dirección positiva es de izquierda a derecha. Hay: 3! = 6 ordenaciones posibles de estos puntos, como se muestra en la figura 2. Considerando solamente segmentos dirigidos de longitudes positivas, tenemos las seis relaciones siguientes correspondientes a estas ordenaciones:
Demostraremos en seguida que todas estas relaciones están incluidas en la relación fundamental:
AB+ BC= AC.
En efecto, por (1), CB = - BC, de manera que la relación (a) puede escribirse
AC - BC=AB,
De donde, pasando - BC al segundo miembro, obtenemos (2). Análogamente, por ser CA = - AC y CB = - BC por (1), la relación (b) se convierte en
- AC + AB = - BC,
En donde, por transposición, obtenemos también (2). La relación (c) esta ya en la forma (2). Como anteriormente, usando (1), vemos que (d), (e) y (f) se reducen cada una a (2).
Sistema Coordenado Lineal
En el Artículo anterior hemos introducido los conceptos de dirección y signo con respecto a los segmentos rectilíneos. Ahora vamos a dar un paso más introduciendo la idea de correspondencia entre un punto geométrico y un número real. Consideremos (fig. 3) una recta X' X cuya dirección positiva es de izquierda a derecha, y sea 0 un punto fijo sobre esta Línea. Tomemos una longitud conveniente como unidad de medida; si A es un punto de X' X distinto de 0 y situado a su derecha, la longitud OA puede considerarse como unidad de longitud. Si P es un punto cualquiera de X' X situado a la derecha de 0 y tal que el segmento dirigido OPI de longitud positiva, contiene x veces a la unidad adoptada de longitud, entonces diremos que el punto P corresponde at numero positivo x. Análogamente, si P' es un punto cualquiera de X'X situado a la izquierda de 0 y tal que el segmento dirigido OP' tenga una longitud negativa de x' unidades, entonces diremos que el punto P' corresponde at numero negativo x’. De esta manera, cualquier numero real x puede representarse por un punto P sobre la recta X ' X. Y recíprocamente, cualquier punto dado P situado sobre la recta X' X representa un numero real x, cuyo valor numérico es igual a la longitud del segmento OP y cuyo signo es positivo o negativo según que P está a la derecha o a la izquierda de 0. De acuerdo con esto, hemos construido un esquema por medio del cual se establece una correspondencia biunívoca entre puntos de una recta y los números reales. Tal esquema se llama un sistema coordenado. En el caso particular considerado, como todos los puntos están sobre la misma recta, el sistema se llama sistema unidimensional o sistema coordenado lineal. Refiriéndonos a la figura 3, la recta X' X se llama eje y el punto 0 es el origen del sistema coordenado lineal. El número real x correspondiente al punto P se llama coordenada del punto P y se representa por (x). Evidentemente, de acuerdo con las convenciones adoptadas, el origen 0 tiene por coordenada (0) y el punto A tiene por coordenada (1). El punto P con su coordenada (x) es la representación geométrica o gráfica del número real x, y la coordenada (x) es la representación analítica del punto P. Ordinariamente escribiremos el punto P y su coordenada juntos, tal como sigue: P (x). Es importante hacer notar que la correspondencia establecida por el sistema coordenado lineal es única. Es decir, a cada número corresponde uno y solamente un punto sobre el eje, y a cada punto del eje corresponde uno y solamente un numero real. Vamos a determinar ahora la longitud del segmento que une dos puntos dados cualesquiera, tales como P1 (x1) y P2 (x2) de la figura 3. En Geometría analítica, se dice que los puntos están dados cuando se conocen sus coordenadas. Por tanto, x1 y X2 son números conocidos. Por la relación (2) del Artículo 2, tenemos: La longitud del segmento dirigido P2P1, obtenida de P1P2 por medio de la relación (1) del Artículo 2, es
En cualquier caso, la longitud de un segmento dirigido se obtiene restando la coordenada del punto inicial de la coordenada del punto finalEste resultado se enuncia como sigue: TEOREMA 1. En un sistema coordenado lineal, la longitud del segmento dirigido que une dos puntos dados se obtiene, en magnitud y signo, restando su ordenada del origen de la coordenada del extremo. La distancia entre dos puntos se define como el valor numérico o valor absoluto de la longitud del segmento rectilíneo que une esos dos puntos.
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